- Школьный тур предметной олимпиады по математике.
- 5 класс
1. Вычислите:
А
ЕОС В5. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправляться двое мальчиков или только один солдат. Смогли ли солдаты переправиться через реку? (5 баллов)Ответы.1. 1032. 38533. 34. 13 отрезков
5. Да. Сначала на другой берег переправляются два мальчика. Один из них остается, а второй возвращается на берег, где стоят солдаты. Затем мальчик выходит на берег. В лодку садится первый солдат и один переправляется на другой берег. Мальчик, который ждал его на другом берегу, садится в лодку и возвращается на тот берег, где стоят остальные солдаты и первый мальчик. Итак, ситуация аналогична той, что была вначале: на берегу 2 мальчика, лодка и солдаты, но один УЖЕ ПЕРЕПРАВИЛСЯ на другой берег. Дальше все повторяется, пока все солдаты не переправятся на другой берег.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьниковМАТЕМАТИКА2013-2014учебный год6 класс6. 1. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?6.2. Разрежьте квадрат на два равных (по форме и размеру) а) пятиугольника; б) шестиугольника.6. 3. Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Аня, взяла треть слив и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть оставшихся слив и ушел. Затем пришел Витя и взял 4 сливы — треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мама?6. 4. В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, которые по каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного заседания выяснилось, что муку украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?6. 5. Сумма пяти чисел равна 200. Докажите, что их произведение не может оканчиваться на 2013?Решения6 класс1. Если в конце получилось число 2, то до деления на 7 было число 14, до вычитания 6 было 20, до умножения на 4 было 5, до деления на 3 было 15, а в самом начале, до прибавления 5 было 10.Ответ: 10.2. Одно из возможных решений изображено на рисунке.
3. Раз 4 сливы, которые взял Витя — это треть от оставшихся, то к его приходу на столе было 4*3=12 слив. 12 слив осталось после того, как Боря забрал треть слив, значит 12 — это две трети слив, которые были к приходу Бори. Значит до прихода Бори было 12:2*3=18 слив. Аналогично 18 — это две трети слив, которые были к приходу Ани, поэтому первоначально было 18:2*3=27 слив.Ответ: 27 слив.4. Муку не мог украсть Мартовский Заяц, поскольку он тогда должен был сказать правду. Поскольку муку украл не он, то он соврал, а значит муку украл и не Болванщик. Поэтому вор — Соня.Ответ: Соня5.Чтобы произведение целых чисел оканчивалось на 2013 необходимо, чтобы все эти числа были нечетными, но сумма пяти нечетных чисел не может быть равной 200
- 7 класс.
- 1.Найдите последнюю цифру суммы квадратов всех чисел от 5 до 12 .
- ( 0).
-
- 2.Сторону квадрата увеличили на 10%. На сколько процентов увеличится его площадь.
- (21)
-
- 3.Среди 12 монет имеется одна фальшивая . Найти её четырьмя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь, если она легче остальных.
- (делением пополам)
- 4.Петя подарил каждому из своих друзей одинаковое количество открыток . Сколько друзей у Пети, если всего подарена 361 открытка и у Пети меньше 200 друзей.
- (19)
- 5.В некотором месяце три субботы пришлись на четные числа. Какой день недели был 25 числа этого месяца.
- ( понедельник)
Олимпиада
по математике 8 класс (школьный тур) 2013-2014 уч.г
1.Одну овцу лев
съедает за 2 дня, волк – за 3 дня, а собака – за 6 дней. За сколько дней они
вместе съедят овцу?
2.Натуральное число равно произведению двух простых чисел. Каждое из этих простых
чисел увеличили на 1. Произведение полученных чисел на 100 больше, чем первоначальное число. Чему
равно первоначальное число?
3.Зная, что m/n = 1/3, найдите значение выражения: n-2m/m
4.Имеется 101 монета . Среди них одна фальшивая,
отличающаяся от остальных по весу.Как путём взвешивания на чашечных весах без
гирь определить легче или тяжелее фальшивая монета?
5. Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил
пенал и ластик, заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12
руб; третий купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50р; четвёртый купил
пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвёртый?
Ответы и решения.
1. 1 день. Лев съедает в сутки 1\2 овцы, волк - 1\3, собака
- 1\6.
2. п = 194. Пусть
числа p и q - простые числа. Тогда
(p+1)(q + 1) = pq + 100. Раскрыв скобки, получим p + q = 99. Сумма - число
нечётное, значит одно слагаемое чётное, а другое - нечётное. Единственное
простое чётное число - это 2. Следовательно второе число 97.
3. ответ 1.
4. Первое взвешивание: 50 и 50 монет (одна отложена). Если
весы в равновесии, то отложена фальшивая и второе взвешивание даёт ответ. Если
весы в первый раз не в равновесии, то то разбиваем любую кучку из 50 монет на
две и взвешиваем. Если взяли более тяжёлую и весы в равновесии, то фальшивая
легче, если весы не в равновесии, то фальшивая среди взвешиваемых и она более
тяжёлая.
5. 39 руб
Вместе первый и второй мальчики купили пенал, 2 ластика и
карандаш, заплатив 52 р. Т.К. третий заплатил 50рза пенал, 2 тетради и
карандаш, то ластик стоит дороже тетради на 1р, тогда пенал и ластик стоят 40р,
а пенал и тетрадь - 39р.
Олимпиада 9 класс
1.Какой цифрой оканчивается число 2013 2014?
2. Расстояние между пунктами А и В 60 км . Из А в В выходит
автомобиль, а из В в том же направлении одновременно с первым выходит второй
автомобиль. Если скорость первого автомобиля увеличить на 10 км\ч, а второго –
на 8 км\ч, то первый автомобиль догонит второй
в том же месте, но на час раньше. Какова скорость каждого автомобиля?
3. Как с помощью циркуля и линейки разделить угол величиной в 19° на 19 равных
частей?
4. Семья из четырёх человек подошла ночью к мосту (с одной
стороны) и хочет перейти через него. У них есть один фонарик, без которого
невозможно и шагу ступить . Мост выдерживает только двух человек. Папа может
перейти мост за 1 минуту, мама – за 2 минуты, малыш – за 5 минут, бабушка – за
10 минут. Как им всем перейти мост за 17 минут?
5. Автобусные билеты имеют шестизначные номера от 000001 до
999999. Билет считается счастливым, если первые его цифры нечётные и различные,
а остальные – чётные. , причём цифры 7 и 8 стоят рядом. Сколько существует
различных вариантов счастливых номеров?
Решения и ответы
1.
9
2.
50 км\ч и 40 км\ч
3.
С помощью прямоугольного треугольника, в
котором один катет в 2 раза меньше
гипотенузы строим угол 30 так, чтобы он содержал внутри себя данный угол 19.
Таким образом получим угол 11. Отложим данный угол 11 внутри угла 19, получим
угол в 8. Делим угол 8 пополам до 1, который и составляет 1\19 исходного угла.
4.
Папа и мама перешли на другую сторону – 2 мин,
папа вернулся – 1 мин, бабушка и малыш перешли – 10 мин, мама вернулась – 2
мин, папа и мама перешли опять – 2 мин. Всего 17 минут.
5.
У шестизначного числа первые три цифры нечётны и
различны, а остальные чётны, 7 и 8 стоят рядом, значит на третьем месте стоит
7, на четвёртом – 8. На первом месте стоит нечётная, но не 7 (всего 4
варианта), на втором – любая из трёх оставшихся (3 варианта). На пятом – чётная
цифра (5 вариантов) и на шестом – также 5 вариантов. Всего 300 счастливых
билетов.
Школьный этап Всероссийской
олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2013-2014учебный год
10 класс
10.1. Известно, что х + 1/х = 15. Найдите х2
+ 1/х2
10.2. Постройте график функции у = (х3 - х2 – 2х)/( х2 - 2х).
10.3. Найдите все значения параметра а,
при которых корни уравнения
(х – 6а)2 + (х – 2а)2
= 128 симметричны относительно точки х = 12.
10.4. Расстояние между серединами сторон АВ
и СD
выпуклого четырехугольника
АВСD
равно расстоянию между серединами его диагоналей. Найдите угол,
образуемый прямыми ВС
и АD
при их пересечении.
10.5. Колю и Дашу друзья пригласили на вечеринку
в компанию из восьми человек, включая их. Естественно, они очень хотели сидеть
вместе. Какова вероятность, что их желание осуществится, если по договору с
друзьями выбор места определяется жеребьевкой?
10.6. Является ли значение выражения 2011*2012*2013*2014+1
точным квадратом?
РЕШЕНИЯ
10
класс.
10.1. Известно, что х + 1/х= 15. Найдите х2 + 1/х2.
Решение.
(х + 1/х )2= 152; х2 +2+ 1/х2= 225; х2
+1/х2 = 223.
Ответ: 223.
10.2. Постройте график функции у = (х3 - х2 – 2х)/( х2 - 2х)..
Решение.
Графиком данной функции
является прямая у = х + 1 с двумя выколотыми точками при х = 0, х = 2.
10.3. Найдите все значения параметра а,
при которых корни уравнения
(х - 6а)2 + (х - 2а)2
= 128 симметричны относительно точки х = 12.
Решение.
(х - 6а)2 + (х - 2а)2 = 128
х2-12ах+36а2+х2-4ах+4а2=128
х2-8ах+20а2-64=0.
Пусть х1 и х2 – корни
исходного уравнения, симметричные относительно х=12, тогда
х1 = 12+с,
х2 = 12 - с, х1
+ х2 =24.
С другой стороны, по
теореме Виета х1 + х2 =8а, значит, а=3.
Проверим, будут ли корни
уравнения при а=3 симметричны
относительно числа 12.
Пусть а=3, тогда х2 -24х +20*9-64
=0; х2 -24х +116 =0; х1 =12+2√7; х2 =12 -2√7.
Условие симметричности
выполнено.
Ответ: при а=3.
10.4. Расстояние между серединами сторон АВ
и СD
выпуклого четырехугольника
АВСD
равно расстоянию между серединами его диагоналей. Найдите угол,
образуемый прямыми ВС
и АD
при их пересечении.
Решение.
Обозначим за М, N, К, L середины отрезков АВ, СD, АС и ВD. В треугольнике АВС отрезок МК является средней линией, поэтому МК || ВС и МК=1/2 ВС.
Аналогично, LN || ВС и
LN = ½ ВС. Тогда МКNL – параллелограмм. Но
так как КL = MN, то МКNL – прямоугольник. Тогда угол между прямыми ВС и АD равен углу между
параллельными им прямыми МК и ML. Угол КМL прямой, значит, и угол между прямыми ВС и АD прямой.
Ответ: 90
.
.
10.5. Колю и Дашу друзья пригласили на вечеринку
в компанию из восьми человек, включая их. Естественно, они очень хотели сидеть
вместе. Какова вероятность, что их желание осуществится, если по договору с
друзьями выбор места определяется жеребьевкой?
Решение.
Коля и Даша, сидя
вместе, могут занять 8*2=16 различных позиций, т.к. если Коля сядет на на
данное место, то Даша может сесть и
справа, и слева. Но различных мест только 8.
Шестерка их друзей может
сесть за стол 6! способами. Восемь человек может сесть 8! различными способами.
Следовательно, вероятность исполнения желания Коли и Даши равна Р = (16*6!)/8! = = 16/8*7 = 2/7 ..
Ответ: 2/7 .
10.6. Является ли значение выражения 2011*2012*2013*2014+1
точным квадратом?
Решение.
Пусть 2011 = х, тогда
выражение примет вид х (х+1) (х+2) (х+3)+1= х(х+3)*(х+1)(х+2)+1= (х2
+ 3х)*(х2+3х+2)+1 = а(а+2)+1= а2+2а+1=(а+1)2, где а= х2 + 3х.
Итак, 2011*2012*2013*2014+1
= (20112 +3*2011+1)2
Ответ: да, является.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА
2013-2014учебный год
11
класс
11.1. В
треугольнике ABC биссектрисы углов A и B
пересекают описанную окружность в точках K и L.
Отрезки AK и BL пересекаются в точке M и
делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника.
Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.
11.2. Дан график функции у= х2 + (а+3)х – а + 5 (см. рис). Найдите a.
11.3.
Найдите два решения уравнения (4/3)cosx = sinx
, принадлежащих
промежутку (0; 2π).
11.4. Найдите наименьшее натуральное число N такое, что N+1 делится нацело на 19, а N
-1 делится нацело на 96.
11.5. Докажите, что в произведении P=1! – 2! – 3! – … – 27! – 28! можно
вычеркнуть один из сомножителей так, чтобы произведение оставшихся было полным
квадратом.
Комментариев нет:
Отправить комментарий